三维旋转矩腾博888会官网阵的自由度是 3

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文章关键词:www.腾博888会官网.com,四元组

  在欧几里得坐标系下,二维的旋转矩阵可以用一个旋转角 $\theta$ 来表达出来。具体地,

  二维点坐标表示为列向量乘以旋转矩阵,得到的列向量就是在欧几里得坐标系下的旋转后的坐标。

  一般地,欧几里得理论下,三维旋转矩阵可以表达为绕着某个方向向量以及绕着这个方向向量的旋转角(默认采用右手原则)。也就是说,确定一个三维旋转矩阵有 4 个变量,方向向量 $x, y, z$ 以及旋转角 $\theta$ 。腾博888会官网欧拉旋转指出,三维旋转矩阵的自由度是 3 。

  欧拉旋转的想法和旋转向量相似。但是不是给定一个旋转向量,而是分别给出观测对象沿$x, y, z$ 三个坐标轴旋转(转化为了一个二维的旋转问题)。其中,沿着给定三个方向的旋转矩阵是这个样子的:

  四元组表达的旋转也可以通过旋转矩阵来表示,即简化上述 $$ p = q p q^{-1} $$ 的操作。其得到的旋转矩阵为:

  以上旋转默认物体绕着原点的旋转,其他形式的旋转,可以把物体平移到相对坐标系,再做四元组旋转,然后再把坐标系变换回去。

  从旋转矩阵恢复四元组可以通过构造矩阵求特征值为 1 的 特征向量(即四元组)。设 $Q$ 是一个 $3\times 3$ 的旋转矩阵,构造矩阵:

  如果 $Q$ 是一个纯旋转矩阵,那么$ K $ 将会有一个特征值为 1 的特征向量,腾博888会官网该向量即四元组。如果 $Q$ 不是一个纯旋转矩阵,那么我们求出最大的特征值所对应的向量为四元组,该四元组求得的旋转矩阵将接近$Q$。

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